મોનાલીસાનું સૌંદર્ય

મોનાલીસા, પિરામિડ એન્ડ બ્રહ્માંડનું ગાણિતિક સૌંદર્ય

સુંદરતા બધાને ગમે, પછી તે વ્યક્તિ હોય, વસ્તુ હોય કે કુદરત. બધું જ સુંદર જોઈએ. મોનાલિસાનું ચિત્ર બધાને ગમે. પિરામિડ બધાને ગમે. રાત્રે સુતા સુતા તારા અને બ્રહ્માંડ જોવું બધાને ગમે. સૂરજમુખીનું કે બીજા કોઈ ફૂલ બધાને ગમે. અનાનસ અને બીજા ફળ બધાને ગમે. બહુ લાંબી કે બહુ ઠીંગણી પત્ની કોઈ યુવાનને ના ગમે. તેને તો જોઈએ સુંદર આંખો, ચમકતા દાંત વાળી પત્ની. ઘર કે ઓફિસે ફરનીચર કે રાચરચીલું લેવાનું હોય તો સુંદર જોઈએ. કોઈને એમ પૂછો કે સુંદર કોને કહેવાય તો લોકો સંતોષકારક જવાબ આપી શકતા નથી. ટેબલની ઊંચાઈ અને પહોળાઈ માપસર ના હૉય તો લેવું ના ગમે. કેટલું લાબું ને ઊંચું ટેબલ ગમે તેનો માપથી મોટાભાગે કોઈ જવાબ ના આપે, પણ જોઈને તરત ખબર પડે કે આ ગમે ને પેલું ના ગમે. કોઈ વળી પોતાની ઊંચાઈ ને કામ કરવાની સરળતાના આધારે ટેબલ કે ખુરશીનું  માપ બતાવે. પણ કોઈએ ક્યારેય વિચાર કર્યો છે ખરો કે તમારા કમર સુધી ની ઊંચાઈ અને કુલ ઊંચાઈ વચ્ચે કૈંક સંબંધ છે? તમારા ખંભાથી કોણી  સુધી અને કોણીથી આંગળી સુધી કૈં સંબંધ છે?  આ બધા અને બીજા કેટલાય કુદરતી સુંદરતના રહસ્યો અમુક નંબરમાં છુપાયેલ છે.  જો કે આપણે અહીં એક જ નંબરની વાત કરવી છે. પહેલા સાદું ગણિત સમજી લઈએ.

0 + 1 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

8 + 13 = 21

13 + 21 = 34

21 + 34 = 55

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,55……   આ સંખ્યાની હારને ફિબોનાચી નંબર (fibonacci number,  ફિબોનાચી કે ફિબોનાકી બંને ઉચ્ચાર કરવામાં આવે છે) કહેવાય, અને નજીકની બે સંખ્યાના ગુણોત્તરને સુવર્ણ ગુણોત્તર (φ or phi in Latin symbol ) કહેવાય. લિયોનાર્ડો દા વિન્સી દ્વારા દોરવામાં આવેલ મોના લિસા, સુવર્ણ ગુણોત્તર અનુસાર દોરવામાં આવી છે. સુવર્ણ ગુણોત્તર 1:1.618 છે અને તે સુવર્ણ રચવામાં આવ્યું છે કારણ કે તે સૌંદર્યલક્ષી રૂપે આનંદદાયક હોવાનું કહેવાય છે. ઇજિપ્તના ગીઝાના મહાન પિરામિડ, આપણા ઘણાને આકર્ષિત કરે છે. તે એક આશ્ચર્યજનક બાંધકામ છે જે આપણી વર્તમાન તકનીકી દ્વારા પ્રાપ્ત કરી શકાય તેવું એક અવિશ્વસનીય ચોકસાઈથી બનેલું છે. ગ્રેટ પિરામિડનો આધાર 230.4 મીટર (755.9 ફુટ) અને અંદાજિત મૂળ ચાઇ 146.5 મીટર (480.6 ફુટ) છે. મોનાલીસા ના ચહેરાની લંબાઈ ને પહોળાઈ કે પિરામિડની ઊંચાઈ અને પાયાનો ગુણોત્તર 1.618 છે. 

પ્રખ્યાત ફિબોનાકી સિક્વન્સ સદીઓથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ, કલાકારો, ડિઝાઇનર્સ અને   વૈજ્ઞાનિકોને મોહિત કરે છે. તેની સર્વવ્યાપકતા અને પ્રકૃતિમાં આશ્ચર્યજનક વિધેય બ્રહ્માંડની મૂળભૂત લાક્ષણિકતા તરીકે તેનું મહત્વ સૂચવે છે. તે પ્રકૃતિમાં સર્વત્ર દેખાય છે કે સુવર્ણ ગુણોત્તર. આથી જ સુવર્ણ ગુણોત્તરને દૈવી ગુણોત્તર (divine) પણ કહેવાય છે. મૂર્ત અને અમૂર્ત, જીવંત અને પ્રાકૃતિક, સૂક્ષ્મ અને વિશાળ, મનુષ્ય અને કૃત્રિમ ચીજ વસ્તુઓમાં  સુવર્ણ ગુણોત્તર  વ્યાપક જોવા મળે છે. મનુષ્ય શરીરના વિભિન્ન અંગો જેવા કે આંગળીના હાડકા, આંગળી અને પંજો, પંજો અને હાથ, કોણીથી પંજો અને કોણીથી કહમભો, આંખનો સફેદ અને કાળો ભાગ, કાનની લંબાઈ અને પહોળાઈ, ધડ અને ધડથી નીચે નો ભાગ, પગ ના હાડકા જેવા કે આંગળી, ગોઠણથી ઉપર અને નીચેનો ભાગ સુવર્ણ ગુણોત્તર કે તેની નાજીકે હોય છે. વચ્ચેના મોટા દાંત અને તેની બાજુના દાંત! કેટલાક ડૉક્ટર આ ગુણોત્તરના આધારે ટ્રીટમેન્ટ કે સારવાર કરે છે. જો કે આ ગુણોત્તર ખુબ ચોક્કસ નથી હોતો જેવો પિરામિડ કે મોનાલીસાના ચિત્ર માં હોય છે. પણ જો કેટલાક અંગના ગુણોત્તર સ્વીકાર્ય મર્યાદા બહાર હોય તો શરીરના તે અંગો યોગ્ય કામ કરી શકતા નથી કે દુખાવો થાય છે.  લાંબા માથાવાળા લોકોમાં શ્વાસની તકલીફ હોય છે અને ટૂંકા માથાવાળા લોકોમાં જડબાની તકલીફ અને માથાનો દુખાવો હોય છે. આંગળીનો દરેક વિભાગ, કાંડાના આધાર સુધી, અગાઉના ભાગ કરતા 1.618 ના ફિબોનાકી ગુણોત્તર છે, તે 2, 3, 5 અને 8 પણ ફીબોનાચી નંબરોને બંધ બેસશે.

સૂરજમુખી ના ફૂલ અને પાંખડીની સંખ્યા કે અનાનસના ઉપરની આંખની સંખ્યા ફિબોનાચી સંખ્યા જેટલી હોય છે. વળી બ્રહ્માંડના કેટલાક રહસ્યો સુવર્ણ નંબર (અને બીજા અન્ય નંબર જેવા કે પાઈ – π- કે 3.14 or 22/7 - યુગો – e- નંબર or 2.71) માં છુપાયેલ છે.  ઘણા ફૂલ પર પાંખડીઓની સંખ્યા ફિબોનાચી સંખ્યા જેટલી હોય છે. ફિબોનાચી સંખ્યા જેટલી હોય છે. ફિબોનાચી સંખ્યા જેટલી હોય છે. ફૂલોની ટોચ પણ ફિબોનાકસીઅન પ્રક્રિયાઓને આધિન છે. સામાન્ય રીતે, બીજ કેન્દ્રમાં ઉત્પન્ન થાય છે, અને પછી બધી જગ્યા ભરવા માટે બહારની તરફ સ્થળાંતર કરે છે. સૂર્યમુખી આ સર્પાકાર દાખલાઓનું એક ઉત્તમ ઉદાહરણ પ્રદાન કરે છે.   સુરજમુખીની સુંદરતાથી કોણ અજાણ છે? માત્ર સુંદરતા નહીં પણ, ઓછી જગ્યામાં વધારે બીજ કે પાંખડી સમાય તેના માટે આ ગુણોત્તર સર્વોત્તમ છે. આ પેટર્ન અનેનાસ અને કોબીજ પર મળી શકે છે.       

કરોળિયા, માછલી, ઝીંગા કે વંદા જેવા કેટલાય જીવ જંતુમાં આ નંબર અને ગુણોત્તરનું રહસ્ય જોવા મળે છે. ગોકળગાય કોષ  આ લોગરીધમિક સર્પાકારને અનુસરે છે, મધમાખીની વાત કરીએ તો, તેઓ અન્ય રસપ્રદ રીતે ફિબોનાકીનું પાલન કરે છે. એક વસાહતમાં સ્ત્રીની સંખ્યાને પુરુષોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવાનું સૌથી ગહન ઉદાહરણ છે (સ્ત્રીઓ હંમેશાં પુરુષની સંખ્યા કરતા વધુ હોય છે). જવાબ સામાન્ય રીતે કંઈક 1.618 ની નજીક છે. આ ઉપરાંત, મધ મધમાખીઓનો પારિવારિક વૃક્ષ પણ પરિચિત પેટર્નને અનુસરે છે. પક્ષીના ઉડાનને, સમૂહને ગોઠવવામાં અને તેના માર્ગને પસંદ કરવામાં ફિબોનાકી નંબરનો વ્યાપક ઉપયોગ છે.  સર્પાકાર તારાવિશ્વો પણ પરિચિત ફિબોનાકી પેટર્નને અનુસરે છે. આકાશગંગાના અનેક સર્પાકાર હાથ છે, તે દરેકમાં સર્પાકાર આશરે 12 ડિગ્રી ગોઠવાયેલ છે. ડીએનએ (DNA) પરમાણુ  સર્પાકારના દરેક સંપૂર્ણ ચક્ર માટે 21 એંગ્રોસ્ટ્મ્સ દ્વારા પહોળા 34 એન્ગોસ્ટ્રોમોને માપે છે. આ સંખ્યાઓ, 34 અને 21, ફિબોનાકી શ્રેણીમાંની સંખ્યા છે, અને તેમનો ગુણોત્તર 1.6190476 નજીકથી Phi, 1.6180339 ની નજીક આવે છે.

                                   

એક્સેલ (Excel) દ્વારા ફિબોનાચી નંબર સહેલાઈથી શોધી શકાય છે. A1 માં 0 લખો (ટાઈપ કરો), A2 માં 1 ટાઈપ કરો, અને A3 માં ફોર્મ્યુલા (=A1+A2) લખો. A3 માં કર્શર લઇ જઈ જમણી બાજુ નીચનો ખૂણો જેટલા નંબર જોઈએ તેટલો ડ્રેગ કરો. તમને A3 થી મળતા  નંબર ફિબોનાચી હશે અને પાસ પાસની બે સંખ્યાનો ગુણોત્તર 1: 1.618 કે સુવર્ણ ગુણોત્તર હશે. એક્સેલ દ્વારા ફિબોનાચી નંબર સહેલાઈથી શોધી શકાય છે. માં 0 લખો (ટાઈપ કરો), માં 1 ટાઈપ કરો, અને માં ફોર્મ્યુલા લખો. માં કર્શર લઇ જઈ જમણી બાજુ નીચનો ખૂણો જેટલા નંબર જોઈએ તેટલો ડ્રેગ કરો. તમને થી મળતા  નંબર ફિબોનાચી હશે અને પાસ પાસની બે સંખ્યાનો ગુણોત્તર 1: 1.618 કે સુવર્ણ ગુણોત્તર હશે.   

e (Euler's Number)  નેચરલ લોગરીધમ્સનો આધાર છે

Key Number

Exact Value

Great Pyramid

φ

1.618033989

1.618590347

π

3.141592653

3.142857153

e

2.718281828

2.717323980