જો અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ના હોત તો?

જો અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ના હોત તો?

અવિભાજ્યો વિનાનું “સંખ્યા સામ્રાજ્ય” કેવું હોય?

જ્યારે 'અવિભાજ્ય' એ કરી આત્મહત્યા!

એક દિવસ સવારે ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં ભારે હોબાળો મચી ગયો. અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય (Fundamental Theorem of Arithmetic) મુજબ દરેક સંખ્યાના મૂળમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ, પણ આજે સવારે ખબર પડી કે ૨, ૩, ૫, ૭ અને ૧૧ જેવી બધી જ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ગાયબ થઈ ગઈ છે!

એક વખતની વાત છે, સંખ્યા નગરની. નગરના મધ્યમાં એક મોટો મહેલ હતો – “ફંડામેન્ટલ થિયોરમ પેલેસ”. ત્યાં રાજા હતા “એક” અને રાજકુમાર હતા બે ભાઈઓ – નાનો “બે” અને મોટો “ત્રણ”. આ બંને ભાઈઓને લોકો “અવિભાજ્ય રાજકુમારો” કહેતા. કારણ? કોઈ તેમને તોડી શકતું નહોતું! ૧ અને પોતાના સિવાય કોઈ અન્ય “ભાગ” નહોતો.

બાકીની બધી સંખ્યાઓ તેમના બ્લોક્સથી બનેલી હતી. જેમ કે – ૪ = ૨ × ૨ (બે-બેના બ્લોક્સ) ૬ = ૨ × ૩ (બે અને ત્રણના બ્લોક્સ) ૧૨ = ૨ × ૨ × ૩ (બે-બે-ત્રણ)

બધું સુંદર, સ્વચ્છ અને “યુનિક” હતું. કોઈ પણ સંખ્યા પૂછે તો તરત કહી શકાય કે “આ કયા કયા અવિભાજ્યોનું બનેલું છે!” જેમ કે તમારા ઘરની ઈંટો કોણી છે તે જાણીને તમે કહી શકો છો કે આ ઘર કેવું બન્યું છે.

પણ એક દિવસ… નગરમાં એક નવો વિચિત્ર વૈજ્ઞાનિક આવ્યો. નામ – ડો. “કલ્પના કરો”. તે બોલ્યો, “અરે યારો! આ અવિભાજ્ય રાજકુમારોને કાઢી નાખીએ તો કેવું? બધી સંખ્યાઓને ‘સ્વતંત્ર’ બનાવી દઈએ! કોઈને કોઈના પર આધાર ન રહે!”

લોકો તાળીઓ પાડી. “વાહ! વાહ! ડેમોક્રસી!”

અને તરત જ ડો. કલ્પનાએ એક જાદુઈ બટન દબાવ્યું…

પૂફ્! બે અને ત્રણ… પાંચ… સાત… અગિયાર… તેર… સત્તર… બધા અદૃશ્ય!

પહેલી તકલીફ તો થઈ ૪ને. ૪ રડતો રડતો આવ્યો, “અરે મારા બે-બે ક્યાં ગયા? હવે હું કોના બ્લોક્સથી બન્યો છું? મને તો હવે અનંત નાના-નાના ટુકડાઓમાં વહેંચાતો જાઉં છું… ૪ = ૨×૨ = (૧.૫×૧.૫×૧.૫×૧.૫)… પણ આ તો ગોળ છે! હું પૂર્ણ સંખ્યા છું કે ગોળી?”

૬ હસતો-હસતો પડી ગયો, “હું તો હવે ૬ = ૨×૩ = … = … = … અનંત વખત વહેંચાતો જાઉં છું! મારી પત્ની કહે છે, ‘તું કોણ છે?’ હું કહું છું, ‘બેબી, હું પણ નથી જાણતો!’”

સંખ્યાઓનું 'કન્ફ્યુઝન'

આપણો બિચારો 'બગડો' (નંબર ૨) જે ગણિતનો એકમાત્ર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાનો ગર્વ લેતો હતો, તે આજે રડતો હતો. તમારી કલ્પના મુજબ, હવે દુનિયામાં એવી કોઈ સંખ્યા જ નહોતી જે ફક્ત ૧ અને પોતાની જાતે જ ભગાય. હવે નિયમ એવો આવ્યો કે દરેક સંખ્યાને ઓછામાં ઓછા ૩ અવયવ હોવા જ જોઈએ.

બગડાએ વિચાર્યું, "મારે જો અસ્તિત્વમાં રહેવું હોય તો મારે પણ વિભાજ્ય બનવું પડશે." પણ ૨ ને વિભાજ્ય કરવા માટે કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા મળતી જ નહોતી. પરિણામ એ આવ્યું કે ગણિતના બજારમાં બધી સંખ્યાઓ એકબીજા સાથે અથડાવા લાગી.

સુરતનો હીરા ઉદ્યોગ અને 'પ્રાઇમ' લોચો

સુરતના એક હીરાના વેપારી, મગનભાઈ, પોતાના હીરાની ગણતરી કરતા હતા. એમણે જોયું કે એમની પાસે ૫ હીરા છે. પણ જો ૫ એ અવિભાજ્ય ના હોય, તો એના ભાગ કેવી રીતે પાડવા?. ૫ હીરાને સરખે ભાગે વહેંચવા માટે હવે હીરાના ભૂકા કરવા પડે એવી નોબત આવી!

મગનભાઈ બોલ્યા, "અલ્યા, આ તો ભારે કરી! જો ૫ ના ભાગ પાડવા માટે બીજા અંકો ના મળે, તો તો મારો વેપાર જ ચોપટ થઈ જાય!" અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વગર ગણિત એ 'સીંગ વગરની મોજ' જેવું થઈ ગયું.

સુરતના બીજા એક હીરાના વેપારી રડતા રડતા બોલ્યા, “મારા હીરાના કટિંગ મશીનમાં ગણિતની જરૂર પડે છે. હવે બધું અનંત વિભાજનમાં છે… હીરો ક્યાં છે? ધૂળ થઈ ગયો!”

ઈન્ટરનેટ અને બેન્કિંગનો ફિયાસ્કો

બીજી બાજુ, આખા જગતનું ઈન્ટરનેટ ઠપ થઈ ગયું. કેમ? કારણ કે મોર્ડન ક્રિપ્ટોગ્રાફી (Cryptography) અને બેન્કિંગ સિક્યોરિટી તો મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર પર જ ટકેલી છે!.

લોકોના એટીએમ પિન (PIN) ખુલતા નહોતા અને પાસવર્ડ બધે જ 'એરર' બતાવતા હતા. હેકર્સ તો જલસામાં આવી ગયા, કારણ કે કોઈ પણ નંબરને 'ફેક્ટર' (અવયવ) પાડવા હવે રમત વાત હતી. સુરક્ષાનું તો 'સૂરસૂરિયું' થઈ ગયું!

બેંકમાં સૌથી મોટું તોફાન! ૧૦૦ રૂપિયાની નોટ પર લખેલું હતું “૧૦૦ = ૨×૨×૫×૫”. હવે ૨ અને ૫ ગયા! મેનેજરે કહ્યું, “ચાલો, ફરીથી ફેક્ટર કરીએ.” પહેલું વિભાજન → ૫૦ × ૨ બીજું → ૨૫ × ૨ ત્રીજું → … અને આમ અનંત વખત! ગ્રાહક બૂમ પાડે, “મારા પૈસા ક્યાં છે?” મેનેજર હાથ જોડીને, “સાહેબ, તમારા પૈસા હજુ ‘વિભાજન’ પ્રક્રિયામાં છે… આવતી કાલે આવજો!”

ઈન્ટરનેટ પર તો હાહાકાર મચી ગયો. બધા પાસવર્ડ “RSA-2048” વાળા હતા. હવે કોઈ પણ નંબરને તોડવામાં ૦.૦૦૧ સેકન્ડ લાગે! એક હેકર (નામ – ચોરુભાઈ) હસતો-હસતો બોલ્યો, “અરે વાહ! આજે તો બધાના બેંક ખાતા મારા નામે! કારણ? પ્રાઈમ નથી તો ‘હાર્ડ’ કંઈ નથી!”

રાત્રે સંખ્યા નગરના ચોકમાં મીટિંગ બોલાવી. ૧૨ બોલ્યું, “યારો, અમે તો હવે ‘ફ્રેક્ટલ’ થઈ ગયા છીએ! કોઈ અમને પકડી શકતું નથી!” ૧૮ હસીને બોલ્યું, “હું તો હવે ૧૮ = ૨×૩×૩ = … = … અનંત! મારી પત્ની કહે છે, ‘તું ક્યાં સુધી વહેંચાઈશ?’ હું કહું છું, ‘જ્યાં સુધી તું કહેશે!’”

અને પછી એક નાનકડો છોકરો રામુ આવ્યો. તે બહુ સરળ હતો. તેણે કહ્યું, “અંકલો, અમે સ્કૂલમાં શીખ્યા હતા કે અવિભાજ્યો એ જ સંખ્યાઓના ‘ઈંટ’ છે. ઈંટ વગર મકાન કેમ બને? અને જો ઈંટ પણ વહેંચાતી જાય તો મકાન તો રેતી જેવું થઈ જાય ને?”

બધી સંખ્યાઓ એકદમ શાંત.

ત્યારે રાજા “એક”એ ઊંડો નિસાસો નાખ્યો અને બોલ્યા, “બેટા રામુ, તું સાચું કહે છે. અમે અવિભાજ્યો વિના જીવી શકીએ નહીં. અમે ‘અસ્તિત્વ’ જ ગુમાવીએ. જેમ આપણે હવા વિના શ્વાસ લઈ શકીએ નહીં, તેમ સંખ્યાઓ અવિભાજ્યો વિના ‘સંખ્યા’ જ રહી શકે નહીં.”

અને તરત જ ડો. કલ્પના પાછો આવ્યો. તેના હાથમાં એક રિમોટ હતો. તેણે બટન દબાવ્યું…

પૂફ્! બે, ત્રણ, પાંચ, સાત… બધા પાછા આવી ગયા!

નગરમાં આનંદનો માહોલ! ૪ નાચતો નાચતો બોલ્યો, “અરે વાહ! મારા બે-બે પાછા આવી ગયા! હવે હું સ્થિર છું!” ૬ એ પત્નીને કહ્યું, “જો, હવે હું ફરી ‘છ’ છું, અનંત નહીં!”

રામુએ હસીને કહ્યું, “અંકલો, આપણે જે વસ્તુ મફતમાં મળે છે તેની કદર નથી કરતા. હવા પણ આપણે પ્રદૂષિત કરીએ છીએ. તેમ જ અવિભાજ્યોને પણ આપણે ભૂલી જઈએ છીએ. પણ જ્યારે તેઓ ગાયબ થાય છે ત્યારે જ સમજાય છે કે તેઓ જ સંખ્યાઓના ‘આત્મા’ છે!”

ત્યારથી સંખ્યા નગરમાં એક નવો નિયમ લાગુ થયો: “દરેક વર્ષે ૨ ઓક્ટોબરે ‘અવિભાજ્યોનો દિવસ’ ઊજવવામાં આવે. તે દિવસે કોઈ સંખ્યા વિભાજન ન કરે. બધા માત્ર અવિભાજ્યોની પ્રશંસા કરે!”

બુદ્ધિશાળી જીવોની હાલત

યુક્લિડ (Euclid) થી લઈને રામાનુજન (Ramanujan) સુધીના ગણિતશાસ્ત્રીઓ સ્વર્ગમાં બેઠા બેઠા માથું ખંજવાળતા હતા. યુક્લિડે કહ્યું, "મેં સાબિત કર્યું હતું કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અનંત છે, પણ આ કલ્પનામાં તો એ શૂન્ય છે!"

નિષ્કર્ષ: 'ઓક્સિજન' જેવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ

વાર્તાના અંતે ખબર પડી કે આ તો એક ભયાનક સપનું હતું. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ એ ગણિતના 'પરમાણુ' (Atoms) છે. જેમ આપણે ઓક્સિજનની કિંમત ત્યારે જ સમજીએ છીએ જ્યારે શ્વાસ લેવામાં તકલીફ પડે, તેમ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વગર ગણિતનો શ્વાસ રૂંધાઈ જાય છે.

જો અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ના હોત, તો ગણિત ચોકસાઈ અને સચોટતા ગુમાવી દેત અને બધું જ અસ્તવ્યસ્ત (Chaotic) હોત. એટલે જ, ભલે તે ગણવામાં અઘરી લાગે, પણ તે આપણા ડિજિટલ અને વૈજ્ઞાનિક યુગનો સાચો પાયો છે.

બોધ: ગણિતમાં જે 'એકલું' (Prime) દેખાય છે, તે જ આખા વિશ્વને જોડી રાખે છે!

અને તમે? તમે પણ આ વાર્તા વાંચીને હસ્યા, સમજ્યા અને વિચાર્યું કે… “અરે વાહ! પ્રાઈમ નંબરો ખરેખર મહાન છે!”

તો આજે જ તમારા ઘરમાં એક નાની તાળી પાડો અને બોલો, “થેન્ક્યુ, અવિભાજ્યો! તમે ન હોત તો… આ વાર્તા પણ ના લખાત!”